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[问答] 日本史上最短的高考题：tan1是有理数吗？——京都大学2006年高考第六题(理科)

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30759 20
凌準╃字JUN团 发表于 2021-1-29 17:44:12 | 只看该作者 打印 上一主题 下一主题
 
日本史上最短的高考题：tan1是有理数吗？——京都大学2006年高考第六题(理科) 第1张图片


是有理数吗？


10个字，引出了日本高考史上最短的问题


当年的考生看到这个问题心里的想法一定是


日本史上最短的高考题：tan1是有理数吗？——京都大学2006年高考第六题(理科) 第2张图片

肯定是无理数啊，这他妈还用问？？？


妈呀 怎么证啊？？？


这一题，完全印证了越短的题目越恶心这一定理
可以自己先思考一下再看下面的答案
其实解法并不复杂，所用的方法也都是学过的
——————————————————————————————————






























思路：
我们知道，如果两个数都是有理数，那么它们的商也一定是有理数
那么关键来了，还记得正切的和角公式么
没错！和角公式里没有出现根号之类的东西


证：
假设  是有理数
那么根据正切的和角公式我们可以得到

日本史上最短的高考题：tan1是有理数吗？——京都大学2006年高考第六题(理科) 第3张图片
因为分子分母都是有理数，那么 日本史上最短的高考题：tan1是有理数吗？——京都大学2006年高考第六题(理科) 第4张图片 也是有理数
同理，

日本史上最短的高考题：tan1是有理数吗？——京都大学2006年高考第六题(理科) 第5张图片
也就是说， 日本史上最短的高考题：tan1是有理数吗？——京都大学2006年高考第六题(理科) 第6张图片 也是有理数
………………
………………
………………
那么， 日本史上最短的高考题：tan1是有理数吗？——京都大学2006年高考第六题(理科) 第7张图片 也是有理数
然而， 日本史上最短的高考题：tan1是有理数吗？——京都大学2006年高考第六题(理科) 第8张图片  是无理数


因此，先前的假设不成立

为无理数
证毕


——————————————————————————————————————
这题真的有点厉害...尤其是在考场上被放在最后一题，估计很多考生第一眼扫完试卷之后整个脑子里想的都是怎么证怎么证之类的……
心疼考生一秒钟
对于日本其他的高考题有兴趣的话，请关注我的专栏啦
来看看日本高中的高考数学都考些啥？
日本有趣的高考真题：
试证明圆周率是无理数
试证明自然对数的底e是无理数
1+1/4+1/9+……+1/n^2=pi^2/6
证明 e^π>21
证明 3.141<π<3.142
日本史上最难的高考题
补充，这个和自主招生不是一个东西
详情看 日本的高考制度


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标签：日本2006年京都大学这个问题无理数
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沙发
我叫不紧张 发表于 2021-1-29 17:44:48 | 只看该作者
 
这种类型的题目在13（还是14）年的北大自招题目上出现过，当时是求证tan3°不是有理数
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板凳
晒晒晒ベ爱 发表于 2021-1-29 17:45:03 | 只看该作者
 
上面说证错了的重新把反证法学一遍
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地板
回矛 发表于 2021-1-29 17:45:21 | 只看该作者
 
因为(tan44+tan1)/(1-tan44tan1)是有理数，无理数可以四则运算出有理数，但有理数绝对不可以四则运算出无理数
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5#
重庆灵妹子 发表于 2021-1-29 17:46:06 | 只看该作者
 
那为什么tan⑨0°不存在呢
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6#
数豆子的幽灵 发表于 2021-1-29 17:46:37 | 只看该作者
 
反证法是能找出一个矛盾就得证了
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7#
宮菀 发表于 2021-1-29 17:47:26 | 只看该作者
 
因为(tan44+tan1)/(1-tan44tan1)是有理数，无理数可以四则运算出有理数，但有理数绝对不可以四则运算出无理数
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8#
酥酥、 发表于 2021-1-29 17:47:45 | 只看该作者
 
你为什么要找tan45是有理数啊……你要找一个是无理数的才能用反证法证明矛盾啊……
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9#
hgiqixc45 发表于 2021-1-29 17:48:24 | 只看该作者
 
因为无理数不是封闭的…无理数的四则运算可以是有理数啊
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10#
春天的故事1382 发表于 2021-1-29 17:48:55 | 只看该作者
 
我第一反应是tan2，4，8，16，发现好像找不到有理数，可能我和学霸就差在这了，知道道理不会用QAQ
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