Effect of a capillary meniscus

张世胜 · 发表于 2021-12-26 09:32:02

实验测量了微粘性液体的法拉第不稳定性阈值。通过改变盛液容器的大小，我们可以突出毛细血管半月板在发生不稳定时所起的作用。当容器变小时，我们可以观察到临界加速度的翻转。在给定容器直径以下，沿稳定性曲线观察到特征模态。提出了一个耗散项来考虑对容器壁面的粘性耗散。
1 Introduction
水动力不稳定性已被广泛研究了几十年。理论、实验和数值工作的目的是理解图形的出现和它们过渡到无序状态的物理机制。其中，法拉第不稳定性[1]的情况受到了特别关注。当一个水槽垂直振荡到一个临界加速度以上时，就会发生这种不稳定性。在附近的加速度值时，流体/空气界面被一组驻波所覆盖，这些驻波可以被排列成不同的几何形状，如正方形、同心圆、三角形、螺旋等[1-6]。在这个线性区域之上，模式变得不稳定，混乱可能出现[7]。当驱动加速度再次升高时，会引起波的破裂和溅射。
大多数关于法拉第不稳定性的论文都假设水槽是空间无限的，或者液体表面在三相线处垂直于容器壁 。在大多数实验情况下，这个假设自然是不符合要求的，只能得到和预期不同的结果[5]。必须指出混相流体的特殊情况[9]。这种非正常连接的影响之一是在靠近侧壁处产生表面波，随后在粘性流体中产生能量耗散。当系统振荡产生法拉第波时，表观加速度发生变化，导致半月板长度的振荡动力学。为了保证质量守恒，产生与驱动频率相同频率的表面波。在这种振荡状态下半月板的动力学相当复杂[10-12]。此外，这种发射的表面波干扰了次谐波法拉第模式及其出现的阈值。
本文讨论在与容器壁有非法向连接角的界面处产生法拉第波的问题。下面的实验研究涉及有限容器内的粘性流体。容器壁上的粘性耗散是影响失稳阈值的一个参数所以被纳入考虑范围。由于从半月板发射的表面波，不稳定阈值预计会上升，这应该取决于接触角。
2 Theoretical background
随着水槽的垂直振荡，自由表面发生形变，出现表面波。后者可以用自由表面的高程项来描述 Effect of a capillary meniscus 第3张图片

。考虑到波振幅小于波长,驻波出现,自由表面高程可以用本征模态项模态Sm (x, y)重写为 Effect of a capillary meniscus 第4张图片

(1)
这些模式中的每一个都可以被建模为一个受控制的谐振子

Effect of a capillary meniscus 第5张图片

(2)

是模态m对应的固有频率，这个固有频率满足 ,每个 Effect of a capillary meniscus 第6张图片

都可以用下述的色散关系得到：

Effect of a capillary meniscus 第7张图片

(3)
其中k为m模态对应的波数，g0为重力加速度，σ为液体表面张力。施加于系统的外部激励可以看作是g0的时间调制，从而使液体经历

Effect of a capillary meniscus 第8张图片

(4)
其中 ,A是振荡的振幅，ω是它们的频率。文献[13]已经证明，将这种调制纳入欧拉方程的线性化仍然会导致本征模态，但是是参数激励的本征模态。自由曲面可以写成

Effect of a capillary meniscus 第9张图片

(5)

依然可以表示为。因此，法拉第波是参数激发的表面波。当大于时产生重力波。否则，它们被称为毛细波。正如我们将进一步看到的，本文中给出的所有测量值都接近于，在毛细波范围内。
如果不稳定性是在一种轻微粘性的液体中产生的，那么，一些机械能就被耗散了。正如在[14]中提出的，这种能量耗散可以通过在之前的线性理论中加入一个阻尼项来考虑。通过求解系统的总机械能与能量耗散率之间的比值，可以估计阻尼系数 Effect of a capillary meniscus 第12张图片

,

(6)
此处<……>符号代表时间平均[14]。这些能量写作

Effect of a capillary meniscus 第14张图片

(7)
and

(8)
对于密度为ρ的流体，在一个典型直径为2R = d的容器中，以特征速度v运动，从而激发波数k的波。最终,

Effect of a capillary meniscus 第16张图片

(9)
许多论文都提到了这一术语，其中[2,15-17]。这种现象学方法的优点之一是保持了本征模的非耦合性。
这些经典的线性理论通常不考虑流体的几何约束，如[17,18]。当考虑容器的有限尺寸时，我们必须假设流体和壁面之间的接触线定义了一个角θ。当毛细效应可以忽略时，θ=π/2满足理想条件。对于θ的其他值，表面张力负责毛细管半月板的出现，其空间扩展依赖于g(t)，法拉第波与此时演化的半月板之间的相互作用是本文的主要特征。
3 Experimental set-up
产生法拉第不稳定性的试验装置由电磁振动器接收一个给定频率f的振荡电压。由于振幅的振荡是通过固定在振动台的压电加速度计准确测量，给定驱动加速度值，此处 Effect of a capillary meniscus 第17张图片

。流体是一个10 cSt硅油(ρ= 0.934 kg/m3，σ= 0.0201 N/m)，并包含在一个圆柱形容器(直径D = 20厘米，高度h = 3厘米)由pyrex玻璃制成。在容器的中心固定一个直径为d的铝制圆柱体作为实验单元(见图1)，因此改变实验单元的直径又快又容易。

在这个小圆柱体的底部钻了一个小洞(直径1毫米)，以便让流体在两个容器内达到相同的水平。由于流体是粘性的，振荡通常为几赫兹，因此这个洞没有流体运动发生。此外,液面(~2.5c m)足够大,以确保底板可以认为没有影响表面不稳定发生(kh∼1)（k是波数）。我们也验证了接触线是不动实验期间,确保没有不能忽视的接触角滞后。
失稳的阈值是通过在恒定频率值下逐步增加驱动加速度来测量的。一个频闪LED灯连接到信号发生器上，帮助确定何时达到次谐波状态。
4 Onset for instability
测量了在9≤d≤93 mm范围内不同容器直径的失稳阈值。四个d值对应的数据点如图2所示。可以看出，随着直径d的减小，阈值呈现上升趋势。在较小容器的情况下，观察到的波瓣与自由表面的共振相对应。这些模式已被识别出来，并且与非粘性流体预期的模式相同。然而，由于表面张力，它们在侧壁上拥有非正常的连接，正如[19]中预测的那样。应该注意的是，连续模式之间的转换是平稳的。这有点令人惊讶，因为毛细半月板有时延伸到柱面的一半以上。

管道尺寸的减小导致管壁处毛细半月板的相对效应增大。由于外力的作用，半月板的特征高度演变为 Effect of a capillary meniscus 第20张图片

[19]。为了保证质量守恒，弯月板体积的这种修正导致了毛细管波以强制频率f发射。粘度负责这些波的阻尼。回顾eq.(9)关于粘度引起的阻尼系数，可以看到，在 Effect of a capillary meniscus 第21张图片

时间内，波以特征速度 Effect of a capillary meniscus 第22张图片

传播特征距离

。因此，半月板的长度是 Effect of a capillary meniscus 第24张图片

这个量级，在毛细波阈内， Effect of a capillary meniscus 第25张图片

.
就像前面提到的粘性问题一样，我们假设可以在线性理论中加入一个现象学术语来模拟这种由于几何限制导致的毛细效应。为了符合容器侧壁的非滑移条件，我们假定速度的垂直分量在厚度为 Effect of a capillary meniscus 第26张图片

的边界层内有一个梯度。能量损失可由机械平衡能量eq(6)模拟，有

Effect of a capillary meniscus 第27张图片

(10)
and

(11)
壁面处的能量耗散系数可以写为 Effect of a capillary meniscus 第29张图片

(12)
图2的实曲线给出了基于线性理论(包括 Effect of a capillary meniscus 第30张图片

阻尼系数)的理论预测，虚线对应于该理论，包括在容器附近的能量耗散。这些理论预测与实验结果相结合。应该注意的是，的数量级估计，如eq.(12)中所写，已经乘以一个经验数值前因子1.25，允许实验和理论之间的定量一致。然而，对于最小的容器(d = 9毫米)，观察到与实验数据有较大的偏差。法拉第波与在激励频率上的半月板产生的波发生强耦合可被认为是这种纷争的根源。在这样一个小容器中，毛细波几乎遍布自由表面。
为了验证线性理论中引入的系数，我们对法拉第波进行了阻尼测量。自由表面以这样一种方式振荡，激发第一个对称模，即m = 2。使用小的模数可以得到大的k数和大的波幅。图3展示了一个装满水的容器的典型运行情况。波幅值A(t)表示为时间的函数。这一数字是通过用高速摄像机以每秒2000帧的帧率对自由表面的发光薄片进行成像获得的。然后摄像机被倾斜，以便从上面记录光片在变形自由表面上的形状。振荡在t = 0时停止。波幅值的不对称性是由于相对于参考位置[20]的波高于深度所导致的非线性所致。强迫振荡停止后，自由表面波开始形成。在这种新的条件下，波的频率发生了变化，波的振幅被阻尼。强制频率与自由频率的区别可以从图3中看到，当t≤0时，强制信号上叠加了无阻尼自由表面波振荡(虚线)。在t≥0的曲线上拟合调制指数衰减得到阻尼系数。图3中得到的值为γσ= 3.52±0.06 s−1。回顾对体粘性耗散(

)的数量级估计，可以看到壁面贡献相当大。现在回顾eq.(12)，可以得到

。这个估计给出了阻尼系数的良好数量级。

基于值，我们可以从理论上估计出的临界加速度[6]。在实验上，我们测量到，与预测非常一致。在我们所做的所有实验中，实验结果与包括实测阻尼系数在内的理论预测在数量上是一致的。
这个结果证明了可以在线性理论中使用阻尼项来模拟由半月板波引起的粘性耗散。
5 Contact angle
如上所强调的，边界层中的粘性耗散对自由面失稳阈值起着重要作用。通常假定(理论上)或强迫(实验上)，三相线以这样一种方式固定，使流体在容器上的连接是正常的。当不满足这一充盈条件时，毛细管半月板有望改变速度梯度的空间扩展δ。后者的确应该更大。为了检验这个假设，我们测量了不同结构的半月板的法拉第不稳定性的阈值。我们从半月板完全发展，三线线接触容器顶部的情况开始。然后我们增加了容器内的液体量，仍然迫使接触线被钉住。这种递进的填充导致毛细半月板空间扩展的连续变化，通过正常的连接配置(充满状态)。
由于我们的装置是圆形的，所以很难测量接触角。为了推导出接触角，我们求解了半月板[14]的拉普拉斯方程。我们已知自由表面的高度是由加入到容器中的液体的量决定的，所以我们在容器中心施加了自由表面的水平线。在图4中，归一化的临界加速度 Effect of a capillary meniscus 第34张图片

被绘制成加入液体量  的函数。相应的接触角在该图的上部给出。应该指出的是我们还探讨了去除部分液体(  )的效果。
对于较小的液体含量(即  ，图4的区域(i))，阈值是恒定的。当我们将液体从容器中取出时，接触角仍然非常小(硅油与玻璃接触)，并且没有变化，从而允许毛细半月板的充分发展。对于我们测试的所有  的值，液体的深度都进入了无限深度近似，解释了这个结果。
当我们倒入0.1 ml b y 0.1 ml液体时，接触线仍然固定在容器边界上(图4区域(ii))。进一步增加液体量会导致接触角的增加。可以观察到，当自由表面是水平的，即接触角为π/2时，临界加速度  达到了它的最小值。这个最低发生ΔV≈3.5毫升。已经知道这个管道的具体几何结构，同时考虑接触线的固定,理论值是ΔV≈3.47毫升。  的测量值非常接近无限粘性流体的理论值,突出了这个简单的技术对于接触角变化和随后的弯月面波扩展的相关性。
向容器中加入更多的液体会导致不稳定性阈值的增加(图4区域(iii))。对于这些测量，可以观察到溢流，开始时非常小，但对于较大的  值来说非常大。在容器壁上，临界加速度因此超出了无限深度近似，法拉第波被阻尼。由此得到的  的增加之前已经在[21]中观察到并报告了。
6 Conclusions
容器的大小d和接触角θ都修改了临界加速度  。对于无限水槽结构，只要d取一个有限值，就测量出一个较大的  值。θ的任何偏离正常的润湿条件(如θ=π/2)也会导致临界加速度的较大值。这些观察表明，在允许产生半月板毛细波的自由表面上诱导法拉第波需要增加能量。弯月面波是谐波产生的，而法拉第波是次谐波产生的。因此，这两种波之间的相互作用对自由表面有稳定作用。当d的减小增加了半月板波的相对空间扩展时，θ的改变改变了毛细管半月板的特征长度。
7 Summary
我们在不同的边界条件下产生了空气/液体界面的法拉第不稳定性。实验结果证明了毛细半月板对不稳定阈值的作用。根据半月板的空间扩展，对于相同的激励参数，可以观察到不同的临界加速度值。在线性理论中引入粘性耗散的现象学术语，使我们可以定量地描述在临界加速度中观察到的增加。

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