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[问答] 浅谈：拉梅系数那些事儿

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23122 20
汽车 发表于 2022-3-28 16:45:05 | 只看该作者 打印 上一主题 下一主题
 
浅谈：拉梅系数那些事儿 第1张图片
我们从小就在接触坐标系变换，也了解到了很多计算方法，最近看物理书，各大作者八仙过海各显神通，不过我喜欢那种平凡的归纳，因此整合了一种我最喜欢的方法，主要利用了文章标题提到的“拉梅系数”。


一. 由弧微分引发的思考
我们给定一条曲线(并不一定是笛卡尔坐标系,但是是正交的)

浅谈：拉梅系数那些事儿 第2张图片
那么我们用各分量表示出来弧微分就是

浅谈：拉梅系数那些事儿 第3张图片

先来看方向: 由偏微分的定义，容易知道浅谈：拉梅系数那些事儿 第4张图片 和  无关的，也就是其不变，因此这个矢量显然是沿着  的方向，用爱因斯坦求和约定(Einstein notation)[1]写出来就是 浅谈：拉梅系数那些事儿 第5张图片 沿着  的方向，因此我们很自然的产生对其大小研究的兴趣。

对式  右边每一项的第一个因子取模得到以下等式

浅谈：拉梅系数那些事儿 第6张图片
其中的 浅谈：拉梅系数那些事儿 第7张图片 就叫做拉梅系数

二.常用式子的改写
最近的，我们可以直接把式 浅谈：拉梅系数那些事儿 第8张图片 带入式  中得

浅谈：拉梅系数那些事儿 第9张图片
其中 浅谈：拉梅系数那些事儿 第10张图片 表示的是 浅谈：拉梅系数那些事儿 第11张图片 的方向(取模的时候方向丢了)
我们知道，我们经常求"弧长""面积""体积"，在这些坐标系里面，我们能不能利用拉梅系数写出通式呢？  不妨考虑如下"六面体"

浅谈：拉梅系数那些事儿 第12张图片
其中 浅谈：拉梅系数那些事儿 第13张图片 是顶点( 浅谈：拉梅系数那些事儿 第14张图片 取作 浅谈：拉梅系数那些事儿 第15张图片 )， 浅谈：拉梅系数那些事儿 第16张图片 是面积， 浅谈：拉梅系数那些事儿 第17张图片 是弧长，我们由易到难，逐个击破

1.弧长
对式 浅谈：拉梅系数那些事儿 第18张图片 各分量取模，得到

浅谈：拉梅系数那些事儿 第19张图片
因此  的长度就是

浅谈：拉梅系数那些事儿 第20张图片
(注意：无论何时 浅谈：拉梅系数那些事儿 第21张图片 不能单独存在，也就是说平方一定是微元的平方，如 浅谈：拉梅系数那些事儿 第22张图片 ，为了美观，省略括号，不要看错啦)

2.体积
仍然利用式  ,由于  互相正交，直接得到

浅谈：拉梅系数那些事儿 第23张图片
3.面积
参考上图可以轻轻松松的写出三个面的面积

浅谈：拉梅系数那些事儿 第24张图片
这就解决了前文的问题

4.应用
我们不妨试一试方程的合理性，就拿柱坐标做验证

浅谈：拉梅系数那些事儿 第25张图片
其满足方程 浅谈：拉梅系数那些事儿 第26张图片
因此简单计算可以得到

浅谈：拉梅系数那些事儿 第27张图片
带入式 浅谈：拉梅系数那些事儿 第28张图片 得到

浅谈：拉梅系数那些事儿 第29张图片
这里的  是不是非常熟悉？！
(面积就留做习题咯)


浅谈：拉梅系数那些事儿 第30张图片 三.物理"三度"的转换
众所周知：物理有三度——梯度[2]散度[3]旋度[4]
我们尝试在曲线坐标系下表示出来

1.梯度(grad)
梯度定义为浅谈：拉梅系数那些事儿 第31张图片
也就是一个方向导数，我们把  分解为 浅谈：拉梅系数那些事儿 第32张图片 并利用式  带入式 浅谈：拉梅系数那些事儿 第33张图片 得到

浅谈：拉梅系数那些事儿 第34张图片
或者合起来

浅谈：拉梅系数那些事儿 第35张图片

2.散度(div)
散度定义为

浅谈：拉梅系数那些事儿 第36张图片
我们还是利用这个参考图(假设从  负半轴向正半轴通过)


利用式  可以得到通过  的通量[5]为

浅谈：拉梅系数那些事儿 第37张图片
而通过 浅谈：拉梅系数那些事儿 第38张图片 面只是加了个偏微分，为

浅谈：拉梅系数那些事儿 第39张图片
两式相加即为  方向的通量，为

浅谈：拉梅系数那些事儿 第40张图片
同理可得  通量为

浅谈：拉梅系数那些事儿 第41张图片
因此得到总的通量为

浅谈：拉梅系数那些事儿 第42张图片
又由式 浅谈：拉梅系数那些事儿 第43张图片 的  即可得到散度的表达式

浅谈：拉梅系数那些事儿 第44张图片

3.旋度(rot or curl)
旋度定义为

浅谈：拉梅系数那些事儿 第45张图片
由环量[6]定义，可知面  的环量为

浅谈：拉梅系数那些事儿 第46张图片
因此结合式  浅谈：拉梅系数那些事儿 第47张图片 得到

浅谈：拉梅系数那些事儿 第48张图片
或者改写成矩阵形式

浅谈：拉梅系数那些事儿 第49张图片
这就是物理三度的变换公式了
另外，考虑到将式 浅谈：拉梅系数那些事儿 第50张图片 结合得到拉普拉斯算子的表达式

浅谈：拉梅系数那些事儿 第51张图片

4.应用
我们拿球坐标进行检验

浅谈：拉梅系数那些事儿 第52张图片
很容易写出

浅谈：拉梅系数那些事儿 第53张图片
下面就是激动人心的狂写了

浅谈：拉梅系数那些事儿 第54张图片
其中是否有你所熟悉的公式呢？
参考


  • ^爱因斯坦求和约定 https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_notation
  • ^梯度 https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient
  • ^散度 https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence
  • ^旋度 https://en.wikipedia.org/wiki/Curl
  • ^通量 https://en.wikipedia.org/wiki/Flux
  • ^环量 https://en.wikipedia.org/wiki/Circulation_(fluid_dynamics)



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标签：八仙过海各显神通那些事儿计算方法坐标系
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沙发
@Xizi_1b48Efzz 发表于 2022-3-28 16:45:41 | 只看该作者
 
写的不错哦，我大二学电磁场的时候也做过总结，你这个详细的多
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板凳
毛毛猴爱芒果 发表于 2022-3-28 16:46:30 | 只看该作者
 
谢谢！(我是真的记不住才重新推一推加深印象[悲])
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地板
珡兽 发表于 2022-3-28 16:47:23 | 只看该作者
 
太强了啊啊啊[瑟瑟发抖]
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5#
无事0305 发表于 2022-3-28 16:48:12 | 只看该作者
 
永远滴神
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6#
灼眼の罗々 发表于 2022-3-28 16:48:28 | 只看该作者
 
[瑟瑟发抖]
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7#
几把刀39 发表于 2022-3-28 16:49:09 | 只看该作者
 
写的很详细 原来不会的基本也能看懂[赞同]
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8#
微笑happy626 发表于 2022-3-28 16:49:46 | 只看该作者
 
[笔芯]
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9#
澄迷 发表于 2022-3-28 16:50:05 | 只看该作者
 
梦幻联动[机智][机智][机智]
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10#
5488ya 发表于 2022-3-28 16:50:10 | 只看该作者
 
研一的我已经不如初二的小朋友啦，写的太好啦
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